সপ্তম (৭ম) শ্রেণির গণিত গাইড বিস্তারিত জেনে নিন
প্রিয় পাঠক, আজকে আমি আপনাদের সাথে ৭ম শ্রেণির গণিত গাইড সমাধান নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করবো। আশা করি আপনি এই পোস্টটি পুরো মনোযোগ সহকারে পড়বেন। আপনি যদি এই পোস্টটি পুরো মনোযোগ সহকারে পড়েন তাহলে ৭ শ্রেনির গতিন গাইড সমাধান বিস্তারিত জানতে পারবেন। প্রিয় পাঠক, চলুন বিস্তারিত জেনে নেওয়া যাক।
প্রথম অধ্যায় মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা: বর্গ-বর্গমূল, পূর্ণবর্গ, ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়
১. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করঃ
(ক) ১৬৯
সমাধানঃ
১৩)১৬৯
১৩
১৬৯ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
১৬৯=১৩✕১৩
∴১৬৯ এর বর্গমূল=√১৬৯=১৩।
(খ) ৫২৯
সমাধানঃ
২৩)৫২৯
২৩
৫২৯ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
৫২৯=২৩✕২৩
∴৫২৯ এর বর্গমূল=√৫২৯=২৩।
(গ) ১৫২১
সমাধানঃ
৩৯)৫২৯
৩৯
১৫২১ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
১৫২১=৩৯✕৩৯
∴১৫২১ এর বর্গমূল=√১৫২১=৩৯।
(ঘ) ১১০২৫
সমাধানঃ
৩)১১০২৫
৩)৩৬৭৫
৫)১২২৫
৫)২৪৫
৭)৪৯
৭
∴১১০২৫ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
১১০২৫=৩✕৩✕৫✕৫✕৭✕৭=(৩✕৩)✕(৫✕৫)✕(৭✕৭)
প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই,
৩✕৫✕৭=১০৫
∴১১০২৫ এর বর্গমূল=√১১০২৫=১০৫।
আরো পড়ুন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত নামতা
২. নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
(ক) ১৪৭
সমাধানঃ
৩)১৪৭
৭)৪৯
৭
∴১৪৭=৩✕৭✕৭=৩✕৭২
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৩
(খ) ৩৮৪
সমাধানঃ
২)৩৮৪
২)১৯২
২)৯৬
২)৪৮
২)২৪
২)১২
২)৬
৩
∴৩৮৪=২✕২✕২✕২✕২✕২✕২✕৩=২২✕২২✕২২✕২✕৩
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ২✕৩=৬ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৬
(গ) ১৪৭০
সমাধানঃ
২)১৪৭০
৩)৩৭৫
৫)২৪৫
৭)৪৯
৭
∴১৪৭০=২✕৩✕৫✕৭✕৭=২✕৩✕৫✕৭২
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ২✕৩✕৫=৩০ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৩০
(ঘ) ২৩৮০৫
সমাধানঃ
৩)২৩৮০৫
৩)৭৯৩৫
৫)২৬৪৫
২৩)৫২৯
২৩
∴২৩৮০৫=৩✕৩✕৫✕২৩✕২৩=৩২✕৫✕২৩২
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৫
৪. নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বাএয়া ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ হবে।
(ক) ৯৭২
সমাধানঃ
২)৯৭২
২)৪৮৬
৩)২৪৩
৩)৮১
৩)২৭
৩)৯
৩
∴৯৭২=২✕২✕৩✕৩✕৩✕৩✕৩=২২✕৩২✕৩২✕৩
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৩
(খ) ৪০৫৬
সমাধানঃ
২)৪০৫৬
২)২০২৮
২)১০১৪
৩)৫০৭
১৩)১৬৯
১৩
∴৪০৫৬=২✕২✕২✕৩✕১৩✕১৩=২২✕২✕৩✕১৩২
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ২✕৩=৬ দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৬
(গ) ২১৯৫২
সমাধানঃ
২)২১৯৫২
২১)১০৯৭৬
২)৫৪৮৮
২)২৭৪৪
২)১৩৭২
২)৬৮৬
৭)৩৪৩
৭)৪৯
৭
∴২১৯৫২=২✕২✕২✕২✕২✕২✕৭✕৭✕৭=২২✕২✕২২✕৭২✕৭
সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৭
আরো পড়ুন: বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে
৫. ৪৬৩৯ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধানঃ
৪৬৩৯)৬৮
৩৬
১২৮)১০৩৯
১০৩৯
১৫
যেহেতু ১৫ অবশিষ্ট থাকে সেহেতু ৪৬৩৯ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গসংখ্যা নহে। সংখ্যাটি থেকে ১৫ বিয়োগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=১৫
৬. ৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা হবে?
সমাধানঃ
৫৬০৫)৭৪
৪৯
১৪৪)৭০৫
৫৭৬
১২৯
যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১২৯ আছে সেহেতু প্রদত্ত সংখ্যাটি পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়। ৫৬০৫ এর সাথে কোনো একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে ৭৪+১=৭৫।
৭৫ এর বর্গ=৭৫✕৭৫=৫৬২৫
∴নির্নেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৫৬২৫-৫৬০৫=২০।
মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা: বর্গমূল
১. ২৮৯/৩৬১ এর বর্গমূল কত?
(ক.) ১৩/১৯ (খ.) ১৭/১৯ (গ.) ১৯/১৩ (ঘ.) ১৯/১৭
উত্তরঃ খ
২. ১.১০২৫ এর বর্গমূল কত?
(ক.) ১.৫ (খ) ১.০০৫ (গ) ১.০৫ (ঘ) ০.০৫
উত্তরঃ গ
৩. একটি মূলদ সংখ্যা হলো-
(i). ০
(ii). ৫
(iii). ৫/২
নিচের কোণটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯।
এই তথ্য থেকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৪. একটি সংখ্যা ১০ হলে অপর সংখ্যা কত?
(ক) ১২ (খ) ১১ (গ) ৯ (ঘ) ৮
উত্তরঃ গ
৫. সংখ্যা দুইটির বর্গের যোগফল কত?
(ক) ২৮১ (খ) ২২১ (গ) ১৮১ (ঘ) ১৬৪
উত্তরঃ গ
৬. ০.০১ এর বর্গমূল কত?
(ক) ০.০১ (খ) ০.১ (গ) ০.২ (ঘ) ১
উত্তরঃ খ
৭. কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৮ হলে তার বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে-
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ৮
উত্তরঃ খ
৮. ৩✕৭✕৫✕৭✕৩ কে কত দ্বারা গূণ বা ভাগ করলে পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?
(ক) ৩ (খ)) ৫ (গ) ৭ (ঘ) ১১
উত্তরঃ খ
৯. নিচের কোণটি অমূলদ সংখ্যা
(ক)√২ (খ)√৯ (গ)√১৬ (ঘ)√২৫
উত্তরঃ ক
আরো পড়ুন: যোগ বিয়োগ গুন ভাগ কোনটির কাজ আগে
১০. একজন কৃষক বাগান করার জন্য ৫৯৫টি চারাগাছ কিনে আনল। প্রত্যেকটি চারাগাছের মূল্য ১২ টাকা।
(ক) চারাগাছগুলো কিনতে তার কত খরচ হয়েছে?
সমাধানঃ
১টি চারাগাছের দাম ১২ টাকা
৫৯৫টি চারাগাছের দাম=৫৯৫✕১২ টাকা=৭১৪০ টাকা।
(খ) বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর কয়টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধানঃ
৫৯৫)২৪
৪
৪৪)১৯৫
১৭৬
১৯
ভাগ প্রক্রিয়ায় ৫৯৫ এর বর্গমূল নির্ণয়ের ক্ষত্রে দেখলাম ১৯ ভাগশেষ থাকে।
অতএব, বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর ১৯টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে।
(গ) খরচের টাকার সংখ্যা ও চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা হবে?
সমাধানঃ
খরচের টাকার সংখ্যা ৭১৪০ ও চারাগাছের সংখ্যা ৫৯৫ এর বিয়োগফল=(৭১৪০-৫৯৫)=৬৫৪৫
এখন,
৬৫৪৬)৮০
৬৪
১৬০)১৪৫
০
১৪৫
যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৪৫ আছে সেহেতু প্রদত্ত সংখ্যাটি পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়। ৫৬৪৫ এর সাথে কোনো একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে ৮০+১=৮১।
৮১ এর বর্গ=৮১✕৮১=৬৫৬১
∴নির্নেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৬৫৬১-৬৫৪৫=১৬।
১১. বর্গমূল নির্ণয় করঃ
(ক) ০.৩৬
সমাধানঃ
০.৩৬).৬
৩৬
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.৬
(খ) ২.২৫
সমাধানঃ
২.২৫)১.৫
১
২৫)১২৫
১২৫
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ১.৫
(গ) ০.০০৪৯
সমাধানঃ
০.০০৪৯)০.০৭
৪৯
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.০৭
(ঘ) ৬৪১.১০২৪
সমাধানঃ
৬৪১১০২৪)২৫.৩২
৪
৪৫)২৪১
২২৫
৫০৩)১৬১০
১৫০৯
৫০৬২)১০১২৪
১০১২৪
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ২৫.৩২
(ঙ) ০.০০০৫৭৬
সমাধানঃ
০.০০০৫৭৬)০.০২৪
৪
৪৪)১৭৬
১৭৬
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.০২৪
(চ) ১৪৪.৮৪১২২৫
সমাধানঃ
১৪৪.৮৪১২২৫)১২.০৩৫
১
২২)৪৪
৪৪
২৪০৩)৮৪১২
৭২০৯
২৪০৬৫)১২০৩২৫
১২০৩২৫
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ১২.০৩৫
আরো পড়ুন: যৌগিক সংখ্যা কাকে বলে
১২. দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।
(ক) ৭
সমাধানঃ
৭.০০০০০০)২.৬৪৫
৪
৪৬)৩০০
২৭৬
৫২৪)২৪০০
২০৯৬
৫২৮৫)৩০৪০০
১২৬৪২৫
৩৯৭৫
এখানে দশমিকের পর তৃতীয় ঘরে ৫ থাকায় দ্বিতীয় ঘরের অঙ্কটি ৪ এর স্থলে ৫ হবে।
∴নির্ণেয় বর্গমূল ২.৬৫ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
(খ) ২৩.২৪
সমাধানঃ
২৩.২৪০০০০)৪.৮২০
১৬
৮৮)৭২৪
৭০৪
৯৬২)২০০০
১৯২৪
৯৬৪০)৭৬০০
০
৭৬০০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ৪.৮২ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
(গ) ০.০৩৬
সমাধানঃ
০.০৩৬০০০)০.১৮৯
১
২৮)২৬০
২২৪
৩৬৯)৩৬০০
৩৩২১
২৭৯
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.১৯ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
১৩. নিচের ভগ্নাংশগুলোর বর্গমূল নির্ণয় করঃ
(ক) ১/৬৪
সমাধানঃ
১=(১)২
৬৪=(৮)২
∴১/৬৪ এর বর্গমূল=১/৮
(খ) ৪৯/১২১
সমাধানঃ
৪৯=(৭)২
১২১=(১১)২
∴৪৯/১২১ এর বর্গমূল=৭/১১
(গ)
সমাধানঃ
১১ ৯৭/১৪৪ = ১৬৮১/১৪৪
১৬৮১ = (৪১)২
১৪৪=(১২)২
∴নির্ণেয় বর্গমূল=৪১/১২ = ৩ ৫/১২
(ঘ)
সমাধানঃ
৩২১ ২৪১/৩২৪ = ১০৬০৯/৩২৪
১০৬০৯ =(১০৩)২
৩২৪ = (১৮)২
∴নির্ণেয় বর্গমূল=১০৩/১৮ = ৫ ১৩/১৮
আরো পড়ুন: ২ এর নামতা
১৫. ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে রাখলে বা তাদের সাথে কমপক্ষে আর কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?
সমাধানঃ
৫৬৭২৮(২৩৮
৪
৪৩)১৬৭
১২৯
৪৩৬(৩৮২৮
৩৭৪৪
৮৪
তাহলে, ৫৬৭২৮ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটি থেকে ৮৪ বিয়োগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
∴৮৪ জন্য সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
আবার, ৫৬৭২৮ এর সাথে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে। তখন বর্গমূল হবে (২৩৮+১)=২৩৯।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি=২৩৯*২৩৯-৫৬৭২৮=৫৭১২১-৫৬৭২৮=৩৯৩।
∴৩৯৩ জন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
১৬. কোনো বিদ্যালয়ে ২৭০৪ জন শিক্ষার্থীকে প্রত্যাহিক সমাবেশ করার জন্য বর্গাকারে সাজানো হলো। প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
শিক্ষার্থীরা বর্গাকারে থাকায় ২৭০৪ এর বর্গমূলই হবে শিক্ষার্থীর সংখ্যা।
২৭০৪(৫২
২৫
১০২)২০৪
২০৪
০
∴নির্ণেয় শিক্ষার্থীর সংখ্যা=৫২ জন।
১৭. একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল প্রত্যেকের ততো ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা নির্ণয় কর।
মনে করি সদস্য সংখ্যা ক জন
প্রশ্নমতে,
১ জন চাঁদা দেয় =ক*২০ টাকা বা ২০ক টাকা।
তাহলে, ক জন চাঁদা দেয় =২০ক*ক টাকা =২০ক২ টাকা।
আবার,
প্রশ্নমতে,
২০ক২=২০৪৮০
বা, ক২=২০৪৮০/২০
বা, ক২=১০২৪
বা, ক=√১০২৪
বা, ক=৩২
∴সমিতির সদস্য সংখ্যা=৩২ জন।
১৮. কোনো বাগানে ১৮০০টি চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশি হলো। প্রত্যকে সারিতে চারাগাছের সংখ্যা কত?
যেহেতু ১৮০০টি চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশি হলো সেহেতু (১৮০০-৩৬) বা ১৭৬৪ এর বর্গমূলই হবে নির্ণেয় চারাগাছের সংখ্যা।
এখন, √১৭৬৪=৪২
∴নির্ণেয় চারাগাছের সংখ্যা=৪২টি।
১৯. কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যা ৯,১৫ এবং ২৫ দ্বরা বিভাজ্য।
ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যাটি নির্ণয় করতে হলে ৯,১৫,২৫ এর লসাগু নির্ণয় করতে হবে।
এখন,
৩)৯,১৫,২৫
৫)৩,৫,২৫
৩,১,৫
লসাগু=৩✕৫✕৩✕৫=৩২✕৫২
এখানে লসাগু পূর্ণবর্গসংখ্যা।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যাটি=৩২✕৫২=৯✕২৫=২২৫
২০. একটি ধানক্ষেতের ধান কাটতে মজুর নেওয়া হলো। প্রত্যেক মজুরের দৈনিক মজুরি তাদের সংখ্যার ১০ গুণ। দৈনিক মোট মজুরি ৬২৫০ টাকা হলে মজুরের সংখ্যা বের কর।
মনে করি, মজুরের সংখ্যা= ক জন
∴১ জনের দৈনিক মজুরি=ক✕১০ টাকা =১০ক টাকা।
প্রশ্নমতে,
ক*১০ক=৬২৫০
বা, ১০ক২=৬২৫০
বা, ক২=৬২৫০/১০
বা, ক২=৬২৫
বা, ক=√৬২৫
বা, ক=২৫
∴মজুরের সংখ্যা=২৫ জন।
আরো পড়ুন: মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে
২১. দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
মনে করে একটি সংখ্যা=ক
তাহলে অপর সংখ্যা= (ক+১)
প্রশ্নমতে,
(ক+১)২-ক২=৩৭
বা, ক২+২ক+১-ক২=৩৭
বা, ২ক+১=৩৭
বা, ২ক=৩৭-১
বা, ২ক=৩৬
বা, ক=৩৬/২
বা, ক=১৮
অতএব, একটি সংখ্যা=১৮
এবং অপর সংখ্যা=১৮+১=১৯।
২২. এমন দুইটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় কর যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা।
মনে করি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক ও (ক+১)
এদের বর্গের অন্তর
=(ক+১)২-ক২
=ক২+২ক+১-ক২
=২ক+১
এখন সর্বনিন্ম পূর্ণবর্গসংখ্যা যথাক্রমে ৪, ৯, ১৬………..
অতএব,
২ক+১=৪ হলে,
২ক=৪-১
বা, ২ক=৩
বা, ক=৩/২ যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
আবার,
২ক+১=৯ হলে,
২ক=৯-১
বা, ২ক=৮
বা, ক=৮/২
বা, ক=৪ যা স্বাভাবিক সংখ্যা
অতএব, একটি সংখ্যা=৪
অপর সংখ্যা=৪+১=৫।
২য় অধ্যায় সমানুপাত ও লাভ ক্ষতি
বহুরাশির অনুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত, সমানুপাত, সমানুপাতিক ভাগ
১. নিচের রাশিগুলো দিয়ে সমানুপাত লেখঃ
(ক) ৩ কেজি, ৫ টাকা, ৬ কেজি, ১০ টাকা।
(খ) ৯ বছর, ১০ দিন, ১৮ বছর ও ২০ দিন।
(গ) ৭ সেমি, ১৫ সেকেন্ড, ২৮ সেমি ও ১ মিনিট।
(ঘ) ১২টি খাতা, ১৫টি পেন্সিল, ২০ টাকা ও ২৫ টাকা।
(ঙ) ১২৫ জন ছাত্র, ২৫ জন শিক্ষক, ২৫০০ টাকা ও ৫০০ টাকা।
সমাধানঃ
(ক) ৩ কেজি : ৬ কেজি : ৫ টাকা : ১০ টাকা।
বা, ৩ : ৬ : ৫ : ১০
(খ) ৯ বছর : ১৮ বছর : ১০ দিন : ২০ দিন।
বা, ৯ : ১৮ : ১০ : ২০
(গ) ৭ সেমি : ২৮ সেমি : ১৫ সেকেন্ড : ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ড
বা, ৭ : ২৮ : ১৫ : ৬০
(ঘ) ১২টি খাতা : ১৫টি পেন্সিল :: ২০ টাকা : ২৫ টাকা
বা, ১২ : ১৫ : ২০ : ২৫
(ঙ) ১২৫ জন ছাত্র : ২৫ জন শিক্ষক : ২৫০০ টাকা : ৫০০ টাকা
বা, ১২৫ : ২৫ : ২৫০০ : ৫০
২. নিচের ক্রমিক সমানুপাতের প্রন্তীয় রাশি দুইটি দেওয়া আছে। সমানুপাতটি তৈরি করঃ
(ক) ৬,২৪ (খ) ২৫,৮১ (গ) ১৬,৪৯
(ঘ) ৫/৭,৭/৫ (ঙ) ১.৫, ১৩.৫
সমাধানঃ
(ক)
১ম রাশি=৬ ও ৩য় রাশি=২৪
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)২=৬✕২৪
বা, (২য় রাশি)২=১৪৪
বা, ২য় রাশি=√১৪৪
বা, ২য় রাশি=১২
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=৬ : ১২ : ১২ : ২৪
(খ)
১ম রাশি=২৫ ও ৩য় রাশি=৮১
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)২=২৫✕৮১
বা, (২য় রাশি)২=২০২৫
বা, ২য় রাশি=√২০২৫
বা, ২য় রাশি=৪৫
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=২৫ : ৪৫ : ৪৫ : ৮১
(গ)
১ম রাশি=১৬ ও ৩য় রাশি=৪৯
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)২=১৬✕৪৯
বা, (২য় রাশি)২=৭৮৪
বা, ২য় রাশি=√৭৮৪
বা, ২য় রাশি=২৮
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=১৬ : ২৮ : ২৮ : ৪৯
(ঘ)
১ম রাশি=৫/৭ ও ৩য় রাশি=৭/৫
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)২=৫/৭✕৭/৫
বা, (২য় রাশি)২=১
বা, ২য় রাশি=√১
বা, ২য় রাশি=১
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=৫/৭ : ১ : ১ : ৭/৫
(ঙ)
১ম রাশি=১.৫ ও ৩য় রাশি=১৩.৫
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)২=১.৫✕১৩.৫
বা, (২য় রাশি)২=২০.২৫
বা, ২য় রাশি=√২০.২৫
বা, ২য় রাশি=৪.৫
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=১.৫ : ৪.৫ : ৪.৫ : ১৩.৫
৩. শূন্যস্থান পূরণ করঃ
(ক) ১১ : ২৫ : ৫০
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=১১
২য় রাশি=২৫
৩য় রাশি=
৪র্থ রাশি=৫০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১১✕৫০=২৫✕৩য় রাশি
বা, ৫৫০=২৫✕৩য় রাশি
বা, ৩য় রাশি=৫৫০/২৫
বা, ৩য় রাশি=২২
∴১১ : ২৫ : ২২ : ৫০
(খ) ১১ : : ৮ : ৬৪
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=৭
২য় রাশি=____
৩য় রাশি=৮
৪র্থ রাশি=৬৪
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৭✕৬৪=২য় রাশি✕৮
বা, ৪৪৮=২য় রাশি✕৮
বা, ২য় রাশি=৪৪৮/৮
বা, ২য় রাশি=৫৬
∴৭ : ৫৬ : ৮ : ৬৪
(গ) ২.৫ : ৫.০ : ৭ :
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=২.৫
২য় রাশি=৫.০
৩য় রাশি=৭
৪র্থ রাশি=
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ২.৫✕৪র্থ রাশি=৫.০✕৭
বা, ২.৫✕৪র্থ রাশি=৩৫
বা, ৪র্থ রাশি=৩৫/২.৫
বা, ৪র্থ রাশি=১৪
∴২.৫ : ৫.০ : ৭ : ১৪
আরো পড়ুন: সংখ্যা পদ্ধতি কাকে বলে
(ঘ) ১/৩ : ১/৫ : ৭/১০
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=১/৩
২য় রাশি=১/৫
৩য় রাশি=
৪র্থ রাশি=৭/১০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১/৩✕৭/১০=১/৫✕৩য় রাশি
বা, ৭/৩০=১/৫✕৩য় রাশি
বা, ৩য় রাশি=(৭/৩০)✕৫
বা, ৩য় রাশি=৭/৬
∴১/৩ : ১/৫ : ৭/৬ : ৭/১০
(ঙ) ১২.৫ :: ৫ : ২৫
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=
২য় রাশি=১২.৫
৩য় রাশি=৫
৪র্থ রাশি=২৫
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১ম রাশি✕২৫=১২.৫✕৫
বা, ১ম রাশি=৬২.৫/২৫
বা, ১ম রাশি=২.৫
∴২.৫ : ১২.৫ : ৫ : ২৫
৪. নিচের রাশিগুলোর ৪র্থ সমানুপাতী নির্ণয় করঃ
(ক) ৫,৭,১০
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=৫
২য় রাশি=৭
৩য় রাশি=১০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৭✕১০
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৭০
বা, ৪র্থ রাশি=৭০/৫
বা, ৪র্থ রাশি=১৪
∴৪র্থ সমানুপাতী=১৪
(খ) ১৫,২৫,৩৩
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=১৫
২য় রাশি=২৫
৩য় রাশি=৩৩
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১৫✕৪র্থ রাশি=২৫✕৩৩
বা, ৪র্থ রাশি=২৫✕৩৩/১৫
বা, ৪র্থ রাশি=৫৫
∴৪র্থ সমানুপাতী=৫৫
(গ) ১৬,২৪,৩২
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=১৬
২য় রাশি=২৪
৩য় রাশি=৩২
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১৬✕৪র্থ রাশি=২৪✕৩২
বা, ৪র্থ রাশি=২৪✕৩২/১৬
বা, ৪র্থ রাশি=৪৮
∴৪র্থ সমানুপাতী=৪৮
(ঙ) ৫,৪.৫,৭
সমাধানঃ
এখানে,
১ম রাশি=৫
২য় রাশি=৪.৫
৩য় রাশি=৭
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৪.৫✕৭
বা, ৪র্থ রাশি=৩১.৫/৫
বা, ৪র্থ রাশি=৬.৩
∴৪র্থ সমানুপাতী=৬.৩
৫. ১৫ কেজি চালের দাম ৬০০ টাকা হলে, এরুপ ২৫ কেজি চালের দাম কত?
সমাধান
এখানে, চালের পরিমান বাড়লে দামও বাড়বে।
অর্থাৎ, চালের পরিমানের অনুপাত=চালের দামের অনুপাত
বা, ১৫ : ২৫ =৬০০ : নির্ণেয় চালের দাম
বা, নির্ণেয় চালের দাম=(৬০০✕২৫)/১৫ টাকা=১০০০ টাকা।
৬. একটি গার্মেন্টস ফ্যাক্টরিতে দৈনিক ৫৫০টি শার্ট তৈরি হয়। ঐ ফ্যাক্টরিতে একই হারে ১ সপ্তাহে কতটি শার্ট তৈরি হয়?
সমাধান
১ সপ্তাহ=৭ দিন।
এখানে, দিনের পরিমান বাড়লে উতপাদনের পরিমান বাড়ে।
অর্থাৎ,
দিনের অনুপাত=উৎপাদনের অনুপাত
বা, ১ : ৭ = ৫৫০ : নির্ণেয় তৈরির সংখ্যা
বা, নির্ণেয় তৈরির সংখ্যা=৫৫০✕৭=৩৮৫০ টি।
৭. কবির সাহেবের তিন পুত্রের বয়স যথাক্রমে ৫ বছর, ৭ বছর ও ৯ বছর। তিনি ৪২০০ টাকা তিন পুত্রকে তাদের বয়সের অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। কে কত টাকা পাবে?
সমাধান
টাকার পরিমান ৪২০০ টাকা।
তিন পুত্ররের বয়সের অনুপাত=৫ : ৭ : ৯
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৫+৭+৯=২১
∴প্রথম পুত্র পাবে=৪২০০✕৫/২১ টাকা=১০০০ টাকা
২য় পুত্র পাবে=৪২০০✕৭/২১ টাকা=১৪০০ টাকা
৩য় পুত্র পাবে=৪২০০✕৯/২১ টাকা=১৮০০ টাকা।
৮. ২১৬০ টাকা রুমি, জেসমিন ও কাকলির মধ্য ১ : ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে?
সমাধান
টাকার পরিমান=২১৬০ টাকা
প্রদত্ত অনুপাত=১ : ২ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=১+২+৩=৬
∴রুমি পাবে=২১৬০✕১/৬ টাকা=৩৬০ টাকা
জেসমিন পাবে= ২১৬০✕২/৬ টাকা= ৭২০ টাকা
কাকলি পাবে=২১৬০✕৩/৬ টাকা=১০৮০ টাকা।
৯. কিছু টাকা লাবিব, সামি ও সিয়ামের মধ্য ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। সিয়াম ১৮০ টাকা পেলে লাবিব ও সামি কত টাকা পাবে নির্ণয় কর।
সমাধান
এখানে, সিয়াম পায়=১৮০ টাকা
লাবিব : সামি : সিয়াম = ৫ : ৪ : ২
∴লাবিব পাবে= সিয়ামের টাকার ৫/২ অংশ=১৮০✕৫/২=৪৫০ টাকা
সামি পাবে=সিয়ামের টাকার ৪/২ অংশ=১৮০✕৪/২=৩৬০ টাকা।
১০. সবুজ, ডালিম ও লিংকন তিন ভাই। তাদের পিতা ৬৩০০ টাকা তাদের মধ্য ভাগ করে দিলেন। এতে সবুজ ডালিমের ৩/৫ অংশ এবং ডালিম লিংকনের দ্বিগুন টাকা পায়। প্রত্যেকের টাকার পরিমান বের কর।
সমাধান
মনে করি, লিংকন পায় ক টাকা
ডালিম পায়=২ক টাকা
∴সবুজ পায়=২ক এর ৩/৫=৬ক/৫ টাকা।
তিনজনের টাকার অনুপাত=ক : ২ক : ৬ক/৫=১ : ২ : ৬/৫ =৫ : ১০ : ৬
অনুপাতগুলোর যোগফল=৫+১০+৬=২১
∴লিঙ্কন পায়=৬৩০০✕৫/২১ টাকা=১৫০০ টাকা
ডালিম পায়=৬৩০০✕১০/২১ টাকা=৩০০০ টাকা
সবুজ পায়=৬৩০০✕৬/২১=১৮০০ টাকা।
১১. তামা। দস্তা ও রূপা মিশিয়ে এক রকম গহনা তৈরি করা হলো। ঐ গহনায় রামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রূপার অনুপাত ৩ : ৫। ১৯ গ্রাম ওজনের গহনায় কত গ্রাম রূপা আছে?
সমাধান
তামা : দস্তা
=১ : ২
=৩ : ৬ [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা গুণ করে]
আবার,
দস্তা : রুপা
=৩ : ৫
=৬ : ১০ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে]
তামা : দস্তা : রুপা =৩ : ৬ : ১০
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৩+৬+১০=১৯
∴গহনায় রুপা আছে=১৯✕১০/১৯ গ্রাম=১০ গ্রাম।
১২. দুইটি সমান মাপের গ্লাস শরবতে পূর্ণ আছে। ঐ শরবতে পানি ও সিরাপের অনুপাত যথাক্রমে প্রথম গ্লাসে ৩ : ২ ও দ্বিতীয় গ্লাসে ৫ : ৪। ঐ দুইটি গ্লাসের শরবত একত্রে মিশ্রন করলে পানি ও সিরাপের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান
১ম গ্লাসে পানি ও সিরাপের অনুপাত=৩ : ২
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৩+২=৫
∴১ম গ্লাসে পানি ৩/৫ অংশ ও সিরাপ ২/৫ অংশ
আবার,
২য় গ্লাসে পানি ও সিরাপের অনুপাত =৫ : ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল= ৫+৪=৯
∴২ গ্লাসে পানি ৫/৯ অংশ ও সিরাপ ৪/৯ অংশ
সুতরাং, নতুন মিশ্রনে পানি
=৩/৫+৫/৯ অংশ
=২৭/৪৫+২৫/৪৫ অংশ
=৫২/৪৫ অংশ
নতুন মিশ্রনে সিরাপ
=২/৫+৪/৯ অংশ
=১৮/৪৫+২০/৪৫ অংশ
=৩৮/৪৫ অংশ
∴নতুন মিশ্রনে পানি ও সিরাপের অনুপাত
=৫২/৪৫ : ৩৮/৪৫
=৫২ : ৩৮
= ২৬ : ১৯
∴পানি ও সিরাপের অনুপাত=২৬ : ১৯
১৩. ক : খ = ৪ : ৭, খ : গ = ১০ : ৭ হলে, ক : খ : গ নির্ণয় কর।
আরো পড়ুন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত বাংলা বানান
সমাধান
ক : খ
=৪ : ৭
= ৪০ : ৭০ [উভয়পক্ষকে ১০ দ্বারা গুণ করে]
খ : গ
=১০ : ৭
৭০ : ৪৯ [উভয়পক্ষকে ৭ দ্বারা গুণ করে]
∴ক : খ : গ =৪০ : ৭০ : ৪৯
১৪. ৯৬০০ টাকা সারা, মাইমুনা ও রাইসার মধ্য ৪ : ৩ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে?
সমাধান
মোট টাকা =৯৬০০
সারা, মাইমুনা ও রাইসার প্রপ্ত টাকার অনুপাত=৪ : ৩ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৪+৩+১=৮
∴সারা পাবে=৯৬০০✕৪/৮ টাকা=৪৮০০ টাকা
মাইমুনা পাবে=৯৬০০✕৩/৮ টাকা=৩৬০০ টাকা
রাইসা পাবে=৯৬০০✕১/৮ টাকা=১২০০ টাকা।
১৫. তিনজন ছাত্রের মধ্যে ৪২০০ টাকা তাদের শ্রেণি অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। তারা যদি যথাক্রমে ৬ষ্ঠ, ৭ম ও ৮ম শ্রেণির শিক্ষার্থী হয়, তবে কে কত টাকা পাবে।
সমাধান
মোট টাকা ৪২০০
শিক্ষার্থীদের শ্রেণির অনুযায়ী অনুপাত= ৬ : ৭ : ৮
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৬+৭+৮=২১
∴৬ষ্ঠ শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৬/২১ টাকা=১২০০ টাকা
৭ম শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৭/২১ টাকা=১৪০০ টাকা
৮ম শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৮/২১ টাকা=১৬০০ টাকা।
১৬. সোলায়মান ও সালমানের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭। সালমান ও উইসুফের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। সোলায়মানের আয় ১২০ টাকা হলে ইউসুফের আয় কত?
সমাধানঃ সোলায়মানের আয় : সালমানের আয়
=৫ : ৭
=২০ : ২৮ [উভয়পক্ষকে ৪ দ্বারা গুণ করে]
সালমানের আয় : ইউসুফের আয়
=৪ : ৫
=২৮ : ৩৫ [উভয়পক্ষকে ৭ দ্বারা গুণ করে]
অতএব,
সোলায়মানের আয় : সালমানের আয় : ইউসুফের আয়=২০ : ২৮ : ৩৫
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=২০ : ৩৫
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=২০✕৬ : ৩৫✕৬
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=১২০ : ২১০ [উভয়পক্ষকে ৬ দ্বারা গুণ করে]
অতএব, ইউসুফের আয়=২১০ টাকা।
লাভ-ক্ষতি
১. একজন দোকানদার প্রতি মিটার ২০০ টাকা দরে ৫ মিটার কাপড় কিনে প্রতি মিটার ২২৫ টাকা দরে বিক্রি করলে কত লাভ হয়েছে?
সমাধান
১ মিটারের ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা ও বিক্রয়মূল্য ২২৫ টাকা।
তাহলে, ১ মিটারে লাভ=২২৫-২০০ টাকা=২৫ টাকা।
∴৫ মিটার লাভ= ২৫✕৫ টাকা=১২৫ টাকা।
২. একজন কমলা বিক্রেতা প্রতি হালি ৬০ টাকা দরে ৫ ডজন কমলা কিনে প্রতি হালি ৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে কত লাভ হয়েছে?
সমাধান
আমরা জানি, ১ হালি=৪টি এবং ১ ডজন=১২ টি
তাহলে, ১ ডজন= ১২/৪ হালি=৩ হালি এবং ৫ ডজন=৩✕৫=১৫ হালি।
এখন,
১ হালি কমলার ক্রয়মূল্য ৬০ টাকা
∴১৫ হালি কমলার ক্রয়মূল্য ৬০✕১৫ টাকা=৯০০ টাকা
আবার,
১ হালি কমলার বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা
∴১৫ হালি কমলার বিক্রয়মূল্য ৫০✕১৫ টাকা=৭৫০ টাকা।
আমরা জানি, ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য কম হলে ক্ষতি হয়।
তাহলে, ক্ষতি হয়েছে ৯০০-৭৫০ টাকা=১৫০ টাকা।
৩. রবি প্রতি কেজি ৪০ টাকা দরে ৫০ কেজি চাউল কিনে ৪৪ টাকা কেজি দরে বিক্রয় করলে কত লাভ বা ক্ষতি হয়েছে?
সমাধান
আমরা জানি, ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি হলে লাভ হয়।
১ কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ৪৪ টাকা।
তাহলে, কেজি প্রতি লাভ=৪৪-৪০ টাকা=৪ টাকা।
∴৫০ কেজির জন্য মোট লাভ=৪✕৫০ টাকা=২০০ টাকা।
৪. প্রতি লিটার মিল্কভিটা দুধ ৫২ টাকায় কিনে ৫৫ টাকা দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?
সমাধান
প্রতি লিটার মিল্কভিটা দুধের ক্রয়মূল্য ৫২ টাকা ও বিক্রয়মূল্য ৫৫ টাকা।
তাহলে, লাভ=৫৫-৫২ টাকা=৩ টাকা।
এখন,
ক্রয়মুল্য ৫২ টাকার জন্য লাভ হয় ৩ টাকা
ক্রয়মুল্য ১ টাকার জন্য লাভ হয় ৩/৫২ টাকা
ক্রয়মুল্য ১০০ টাকার জন্য লাভ হয় (৩/৫২)✕১০০ টাকা=৭৫/১৩ টাকা।
অতএব, লাভ=(৭৫/১৩)%
৫. প্রতি চকলেট ৮ টাকা হিসেবে ক্রয় করে ৮.৫০ টাকা হিসেবে বিক্রয় করে ২৫ টাকা লাভ হলো, মোট কয়টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল?
সমাধান
একটি চকলেটে লাভ হয় ৮.৫০-৮.০০ টাকা = .৫০ টাকা
.৫০ টাকা লাভ হয় ১টি চকলেটে
∴১ টাকা লাভ হয় ১/.৫০ টি চকলেটে
∴২৫ টাকা লাভ হয় (১✕২৫)/.৫০ টি চকলেটে=৫০টি চকলেটে।
মোট চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল ৫০টি।
৬. প্রতি মিটার ১২৫ টাকা দরে কাপড় ক্রয় করে ১৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে দোকানদারের ২০০০ টাকা লাভ হয়। দোকানদার মোট কত মিটার কাপড় ক্রয় করেছিল।
সমাধান
১ মিটার কাপড়ে লাভ হয়=১৫০-১২৫ টাকা=২৫ টাকা।
এখন,
২৫ টাকা লাভ হয় ১ মিটার কাপড়ে
∴১ টাকা লাভ হয় ১/২৫ মিটার কাপড়ে
∴২০০০ টাকা লাভ হয় (১✕২০০০)/২৫ মিটার কাপড়ে=৮০ মিটার কাপড়ে।
দোকানদার মোট কাপড় ক্রয় করেছিল ৮০ মিটার।
৭. একটি দ্রব্য ১৯০ টাকায় ক্রয় করে ১৭৫ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধান
আমরা জানি, ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য কম হলে ক্ষতি হয়।
এখানে ক্ষতি, ১৯০-১৭৫ টাকা =১৫ টাকা।
অর্থাৎ,
১৯০ টাকায় ক্ষতি হয় ১৫ টাকা
∴১ টাকায় ক্ষতি হয় ১৫/১৯০ টাকা
∴১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (১৫✕১০০)/১৯০ টাকা=১৫০/১৯ টাকা
∴নির্ণেয় ক্ষতি=(১৫০/১৯)%
৮. ২৫ মিটার কাপড় যে মূল্যে ক্রয় করে, সেই মূল্যে ২০ মিটার কাপড় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধান
মনে করি, ২৫ মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
প্রশ্নমতে,
২০ মিটার কাপড়ের বিক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
∴১ মিটার কাপড়ের বিক্রয় মূল্য ১০০/২০ টাকা=৫ টাকা
∴২৫ মিটার কাপড়ের বিক্রয় মূল্য ৫✕২৫ টাকা=১২৫ টাকা।
∴লাভ=১২৫-১০০ টাকা=২৫ টাকা।
নির্ণেয় লাভ=২৫%।
৯. ৫ টাকায় ৮টি আমলকি ক্রয় করে ৫ টাকায় ৬টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধান
৮টি আমলকির ক্রয়মূল্য ৫ টাকা
আবার,
৬ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা
∴১ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য ৫/৬ টাকা
∴৮ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য (৫✕৮)/৬ টাকা=২০/৩ টাকা।
এখানে, লাভ=২০/৩-৫ টাকা = ২০/৩-১৫/৩ টাকা=৫/৩ টাকা।
এখন,
৫ টাকায় লাভ হয় ৫/৩ টাকা
∴১ টাকায় লাভ হয় ৫/(৩✕৫) টাকা=৫/১৫ টাকা=১/৩ টাকা
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (১✕১০০)/৩ টাকা=১০০/৩ টাকা
∴নির্ণেয় লাভ (১০০/৩)%
১০. একটি গাড়ির বিক্রয়মূল্য গাড়িটির ক্রয়মূল্যের ৪/৫ অংশের সমান। শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।
সমাধান
মনে করি, গাড়িটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
তাহলে, গাড়িটির বিক্রয়মূল্য= ১০০✕৪/৫ টাকা=৮০ টাকা।
এখানে, ক্ষতি=১০০-৮০ টাকা=২০ টাকা।
∴নির্ণেয় ক্ষতি=২০%
১১. একটি দ্রব্য ৪০০ টাকায় বিক্রয় করলে যত ক্ষতি হয় ৪৮০ টাকায় বিক্রয় করলে তার তিনগুণ লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য নির্ণয় কর।
সমাধান
মনে করি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ক টাকা
৪০০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (ক-৪০০) টাকা
আবার ৪৮০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয়= (৪৮০-ক) টাকা
প্রশ্নমতে,
৪৮০-ক=৩✕(ক-৪০০)
বা, ৪৮০-ক=৩ক-১২০০
বা, -ক-৩ক=-১২০০-৪৮০
বা, -৪ক=-১৬৮০
বা, ৪ক=১৬৮০
বা, ক=১৬৮০/৪
বা, ক=৪২০
∴দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য=৪২০ টাকা।
১২. একটি ঘড়ি ৬২৫ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে?
সমাধান
১০% ক্ষতিতে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০-১০) বা ৯০ টাকা
অর্থাৎ,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ৬২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০✕৬২৫)/৯০ টাকা=৬২৫০/৯ টাকা
আবার, ১০% লাভে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০+১০) বা ১১০ টাকা।
এখন,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা
∴ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১০/১০০ টাকা
∴ক্রয়মূল্য ৬২৫০/৯ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১১০✕৬২৫০)/(১০০✕৯) টাকা=৬৮৭৫/৯ টাকা।
∴নির্ণেয় বিক্রয়মূল্য ৬৮৭৫/৯ টাকা।
১৩. মাইশা ২০ টাকা দরে ১৫ মিটার লাল ফিতা ক্রয় করল। ভ্যাটের হার ৪ টাকা। সে দোকানিকে ৫০০ টাকার একটি নোট দিল। দোকানি তাকে কত টাকা ফেরত দেবেন।
সমাধান
২০ টাকা দরে ১৫ মিটার ফিতার ক্রয়মূল্য (২০✕১৫) বা ৩০০ টাকা।
আবার,
১০০ টাকায় ভ্যাট দেয় ৪ টাকা
∴১ টাকায় ভ্যাট দেয় ৪/১০০ টাকা
∴৩০০ টাকায় ভ্যাট দেয় (৪✕৩০০)/১০০ টাকা=১২ টাকা।
∴ফিতা কয় করতে মোট খরচ=৩০০+১২ বা ৩১২ টাকা
∴দোকানি ফেরত দেবেন (৫০০-৩১২) বা ১৮৮ টাকা।
১৪. মি. রায় একজন সরকারি কর্মকর্তা। তিনি তীর্থস্থান পরিদর্শনের জন্য ভারতে যাবেন। যদি বাংলাদেশি ১ টাকা সমান ভারতীয় ০.৬৩ রুপি হয়, তবে ভারতীয় ৩০০০ রুপির জন্য বাংলাদেশের কত টাকা প্রয়োজন হবে?
সমাধান
ভারতীয় ০.৬৩ রুপি=বাংলাদেশি ১ টাকা
∴ভারতীয় ১ রুপি=বাংলাদেশি ১/০.৬৩ টাকা
∴ভারতীয় ৩০০০ রুপি=বাংলাদেশি (১✕৩০০০)/০.৬৩ টাকা=৪৭৬১.৯০ টাকা।
∴তার প্রয়োজন ৪৭৬১.৯০ টাকা।
১৫. নীলিমা একজন চাকুরিজীবি। তার মাসিক মূল বেতন ২২২৫০ টাকা। বার্ষিক মোট আয়ের প্রথম এক লক্ষ আশি হাজারে আয়কর ০ (শূন্য) টাকা। পররবর্তী টাকার উপ্পর আয়করের হার ১০ টাকা হলে নীলিমা কর বাবদ কত টাকা পরিশোধ করেন?
সমাধানঃ ১ বছর=১২ মাস
নীলিমার ১ মাসের বেতন ২২২৫০ টাকা
∴১২ মাসের বেতন ২২২৫০✕১২ বা ২৬৭০০ টাকা।
∴তাকে কর দিতে হয় (২৬৭০০০-১৮০০০০) বা ৮৭০০০ টাকার উপর।
১০০ টাকায় আয়কর দিতে হয় ১০ টাকা
∴১ টাকায় আয়কর দিতে হয় ১০/১০০ টাকা
∴৮৭০০০ টাকায় আয়কর দিতে হয় (১✕৮৭০০০)/১০০ টাকা=৮৭০০ টাকা।
∴নীলিমা কর বাবদ পরিশোধ করেন ৮৭০০ টাকা।
গতি বিষয়ক সমস্যা
১. ৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত নির্ণয় করঃ
(ক) ২ : ৩ (খ) ৪ : ৯
(গ) ৯ : ৪ (ঘ) ১৬ : ৮১
উত্তরঃ ক
২. ক : খ =৪ : ৭ এবং খ : গ = ১০ : ৭ হলে গ : খ : ক এর মান কত?
(ক) ৪৯ : ৭০ : ৪০ (খ) ৪৯ : ৪০ : ৭০
(গ) ৪০ : ৭০ : ৪৯ (ঘ) ৪০ : ৪৯ : ৭০
উত্তরঃ ক
৩. ৪ : ৩ ও ৫ : ৬ এর ধারাবাহিক অনুপাতের দ্বিতীয় রাশির মান কত?
(ক) ২০ (খ) ১৮
(গ) ১৬ (ঘ) ১৫
উত্তরঃ ঘ
নিচের তথ্যের আলোকে ৪-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৩০ মিটার কাপড় মাইশা, মারিয়া ও তানিয়ার মধ্যে ৫ : ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো
৪. মাইশা কত মিটার কাপড় পেল?
(ক) ১৫ (খ) ৯ (গ) ৬ (ঘ) ৩
উত্তরঃ ক
৫. তানিয়া থেকে মারিয়া কত মিটার কাপড় বেশি পেল?
(ক) ১৫ (খ) ৪ (গ) ৫ (ঘ) ৬
উত্তরঃ ক
৬. ৫ : ৩ এবং ২ : ৫ এর ধারাবাহিক অনুপাত কোণটি?
(ক) ১০ : ৬ : ১৫ (খ) ৩ : ৫ : ৬
(গ) ৫ : ৬ : ৫ (ঘ) ১৫ : ৬ : ১০
উত্তরঃ ক
৭. ৩,৫,১৫ এর চতুর্থ সমানুপাতি কোণটি?
(ক) ২০ (খ) ২৫ (গ) ৩০ (ঘ) ৩৫
উত্তরঃ খ
৮. একজন দোকানদার একটি দিয়াশলাই বক্স ১.৫০ টাকায় ক্রয় করে ২.০০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
(ক) ২০% (খ) ১৫% (গ) ২৫% (ঘ) ৩৩.১/৩%
উত্তরঃ ঘ
৯. একজন কলাবিক্রেতা প্রতি হালি কলা ২৫ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি হালি ২৭ টাকা দরে বিক্রয় করলে, তার ৫০ টাকা লাভ হয়। সে কত হালি কলা ক্রয় করেছিল?
(ক) ২৫ হালি (খ) ২০ হালি
(গ) ৫০ হালি (ঘ) ২৭ হালি
উত্তরঃ ক
১০. নিচের রাশিগুলো মিল করঃ
(ক) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে
(খ) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে কম হলে
(গ) স্রোতের অনুকুলে সময়
(ঘ) স্রোতের প্রতিকূলে সময়
(ক) কম লাগে
(খ) লাভ হয়
(গ) বেশি লাগে
(ঘ) ক্ষতি হয়
সমাধান
(ক) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে-ক্ষতি হয়
(খ) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে কম হলে-লাভ হয়
(গ) স্রোতের অনুকুলে সময়-কম লাগে
(ঘ) স্রোতের প্রতিকূলে সময়-বেশি লাগে
১১. ৫ জন শ্রমিক ৬ দিনে ৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে পারে। ২০ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ২৫ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?
সমাধান
৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ৫ জন শ্রমিকের লাগে ৬ দিন
∴১ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ১ জন শ্রমিকের লাগে (৬✕৫)/৮ দিন
∴২০ '' '' '' উঠাতে ২৫ জন শ্রমিকের লাগে (৬✕৫✕২০)/(৮✕২৫) দিন=৩ দিন।
∴নির্ণেয় সময়ঃ ৩ দিন।
১২. স্বপন একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। রতন উক্ত কাজ ১৬ দিনে করতে প্পারে।স্বপন ও রতন একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?
সমাধান
স্বপন ২৪ দিনে করতে পারে ১টি কাজ
∴স্বপন ১ দিনে করতে পারে ১/২৪ টি কাজ
আবার, রতন ১৬ দিনে করতে পারে ১টি কাজ
∴রতন ১ দিনে করতে পারে ১/১৬ টি কাজ
স্বপন ও রতন একত্রে ১ দিনে করে ১/২৪+১/১৬ টি কাজ=২/৪৮+৩/৪৮ টি কাজ=৫/৪৮ টি কাজ।
অর্থাৎ,
তারা একত্রে ৫/৪৮ অংশ করে ১ দিনে
∴তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (১✕৪৮)/৫ দিনে=৪৮/৫ দিনে।
∴নির্ণেয় সময় ৪৮/৫ দিন।
১৩. হাবিবা ও হালিমা একটি কাজ একত্রে ২০ দিনে করতে পারে। হাবিবা ও হালিমা একত্রে ৮ দিন কাজ করার পর হাবিবা চলে গেল। হালিমা বাকি কাজ ২১ দিনে শেষ করল। সম্পূর্ণ কাজটি হালিমা কত দিনে করতে পারত?
সমাধান
হাবিবা ও হালিমা একত্রে ২০ দিনে করতে পারে সম্পূর্ণ বা ১ অংশ
∴হাবিবা ও হালিমা একত্রে ১ দিনে করতে পারে ১/২০ অংশ
∴হাবিবা ও হালিমা একত্রে ৮ দিনে করতে পারে (১✕৮)/২০ অংশ=২/৫ অংশ
∴বাকি কাজ=১-২/৫ অংশ=৫/৫-২/৫ অংশ=৩/৫ অংশ
হালিমা একা ৩/৫ অংশ কাজ করে ২১ দিনে
∴হালিমা একা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে (২১✕৫)/৩ দিনে=৩৫ দিনে।
∴নির্ণেয় সময়=৩৫ দিন।
১৪. ৩০ জন শ্রমিক ২০ দিনে একটি বাড়ি তৈরি করতে পারে। কাজ শুরুর ১০ দিন পরে খারাপ আবহাওয়ার জন্য ৬ দিন কাজ বন্ধ রাখতে হয়েছে। নির্ধারিত সময়ে কাজটি শেষ করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিক লাগবে?
সমাধান
৩০ জন শ্রমিক ২০ দিনে তৈরি করতে পারে ১টি বাড়ি
∴৩০ জন শ্রমিক ১ দিনে তৈরি করতে পারে ১/২০টি বাড়ি
∴৩০ জন শ্রমিক ১০ দিনে তৈরি করতে পারে (১✕১০)/২০টি বাড়ি=১/২টি বাড়ি।
∴বাকি কাজ=১-১/২ অংশ=১/২ অংশ
খারাপ আবহাওয়ার জন্য ৬ দিন কাজ বন্ধ থাকায় মোট সময় ব্যয় হয় (১০+৬) দিন=১৬ দিন।
∴বাকি সময়=(২০-১৬) দিন=৪ দিন
২০ দিনে ১ অংশ কাজ করে ৩০ জন শ্রমিক
∴১ দিনে ১ অংশ কাজ করে ৩০✕২০ জন শ্রমিক
∴৪ দিনে ১/২ অংশ কাজ করে (৩০✕২০✕১)/(৪✕২) জন শ্রমিক=৭৫ জন শ্রমিক।
∴অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে=(৭৫-৩০) জন=৪৫ জন।
১৫. একটি কাজ ক ও খ একত্রে ১৬ দিনে, খ ও গ একত্রে ১২ দিনে এবং ক ও গ একত্রে ২০ দিনে করতে পারে। ক, খ ও গ একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
সমাধান
ক ও খ একত্রে ১৬ দিনে করে ১অংশ কাজ
∴ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে ১/১৬অংশ কাজ
আবার,
খ ও গ একত্রে ১২ দিনে করে ১অংশ কাজ
∴খ ও গ একত্রে ১ দিনে করে ১/১২অংশ কাজ
আবার,
ক ও গ একত্রে ২০ দিনে করে ১অংশ কাজ
∴ক ও গ একত্রে ১ দিনে করে ১/২০অংশ কাজ
২(ক,খ,গ) একত্রে ১ দিনে করে
=১/১৬+১/১২+১/২০ অংশ কাজ
=১৫/২৪০+২০/২৪০+১২/২৪০ অংশ কাজ
=৪৭/২৪০ অংশ কাজ
এখন,
২(ক, খ, গ) একত্রে ৪৭/২৪০ অংশ করে ১ দিনে
∴ ক, খ, গ একত্রে ১ অংশ করে (১✕২৪০✕২)/৪৭ দিনে=৪৮০/৪৭ দিনে।
∴ক, খ, গ একত্রে কাজটি করে ৪৮০/৪৭ বা ১০পূর্ণ১০/৪৭ দিনে।
১৬. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল আছে। প্রথম ও দ্বিতীয় নল দ্বারা যথাক্রমে ১২ ঘন্টা ও ১৮ ঘন্টায় খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। দুইটি নল একসাথে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কত ঘণ্টায় পূর্ণ হবে?
সমাধান
১ম নল দ্বারা ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ
আবার,
২য় নল দ্বারা ১৮ ঘন্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার সম্পূর্ণ বা ১ অংশ
∴২য় নল দ্বারা ১ ঘন্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৮ অংশ
তাহলে, দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/১২+১/১৮ অংশ=৩/৩৬+২/৩৬=৫/৩৬ অংশ।
এখন,
দুইটি নল দ্বারা ৫/৩৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
∴দুইটি নল দ্বারা ১ অংশ পূর্ণ হয় (১✕৩৬)/৫ ঘণ্টায়=৩৬/৫ ঘন্টায়।
∴নির্ণেয় সময়=৩৬/৫ বা ৭পূর্ণ১/৫ ঘণ্টা।
১৭. স্রোতের অনুকুলে একটি নৌকা ৪ ঘণ্টায় ৩৬ কিমি পথ অতিক্রম করে। স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৩ কিমি হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?
সমাধান
স্রোতের অনুকুলে,
নৌকাটি ৪ ঘন্টায় যায় ৩৬ কিমি
∴ ১ ঘণ্টায় যায় ৩৬/৪ বা ৯ কিমি
তাহলে,
ঘণ্টায় স্রোতের বেগ+নৌকার বেগ=৯ কিমি
শুধু স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৩ কিমি
∴শুধু নৌকার বেগ (৯-৩) বা ৬ কিমি।
এখন যেখানে শুধুমাত্র নৌকার বেগ থাকে সেখানে স্রোতের বেগ ০ বা পানি স্থির থাকে।
∴স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬কিমি/ঘণ্টা।
১৮. স্রোতের প্রতিকূলে একটি জাহাজ ১১ ঘণ্টায় ৭৭ কিমি পথ অতিক্রম করে। স্থির পানিতে জাহাজের গতিবেগ প্রতিঘণ্টায় ৯ কিমি হলে, স্রোতের গতিবেগ প্রতিঘণ্টায় কত?
সমাধান
স্রোতের প্রতিকূলে,
জাহাজের বেগ-স্রোতের বেগ ১১ ঘণ্টায় ৭৭ কিমি
∴জাহাজের বেগ-স্রোতের বেগ ১ ঘণ্টায় ৭৭/১১ কিমি=৭ কিমি
এখন,
জাহাজের বেগ ঘণ্টায় (স্থির পানিতে বা যখন স্রোতের বেগ ০) ৯ কিমি
জাহাজের বেগ-স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৭ কিমি
(-) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ২ কিমি।
∴স্রোতের গতিবেগ ঘণ্টায় ২ কিমি।
১৯. দাঁড় বেয়ে একটি নৌকা স্রোতের অনুকুলে ১৫ মিনিটে ৩ কিমি এবং স্রোতের প্রতিকুলে ১৫ মিনিটে ১ কিমি পথ অতিক্রম করে। স্থির পানিতে নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ নির্ণয় কর।
সমাধান
স্রোতের অনুকুলে,
নৌকা অতিক্রম করে ১৫ মিনিটে ৩ কিমি
তাহলে, ১ মিনিটে অতিক্রম করে ৩/১৫ কিমি
অর্থাৎ, স্রোতের অনুকুলে,
নৌকার বেগ+স্রোতের বেগ মিনিটে ৩/১৫ কিমি......(১)
আবার,
স্রোতের প্রতিকুলে,
নৌকা অতিক্রম করে ১৫ মিনিটে ১ কিমি
তাহলে, ১ মিনিটে অতিক্রম করে ১/১৫ কিমি
অর্থাৎ, স্রোতের প্রতিকুলে,
নৌকার বেগ-স্রোতের বেগ মিনিটে ১/১৫ কিমি…….(২)
এখন,
(১)+(২) করে পাই,
২ নৌকার বেগ মিনিটে=৩/১৫+১/১৫ কিমি=৪/১৫ কিমি
১ নৌকার বা নৌকার বেগ মিনিটে=৪/(১৫✕২)=৪/৩০=২/১৫ কিমি…..(৩)
আবার,
(১)-(৩) করে পাই,
স্রোতের বেগ মিনিটে=৩/১৫-২/১৫=১/১৫ কিমি।
অতএব,
নৌকার বেগ ২/১৫ কিমি/মিনিট=(২✕৬০)/১৫ কিমি/ঘণ্টা=৮ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের বেগ ১/১৫ কিমি/মিনিট=(১✕৬০)/১৫ কিমি/ঘণ্টা=৪ কিমি/ঘণ্টা।
২০. একজন কৃষক ৫ জোড়া গরু দ্বারা ৮ দিনে ৪০ হেক্টর জমি চাষ করতে পারেন। তিনি ৭ জোড়া গরু দ্বারা ১২ দিনে কত হেক্টর জমি চাষ করতে পারবেন?
সমাধান
কৃষক ৫ জোড়া গরু দ্বারা ৮ দিনে জমি চাষ করতে পারেন ৪০ হেক্টর
∴কৃষক ১ জোড়া গরু দ্বারা ১ দিনে জমি চাষ করতে পারেন ৪০/(৫✕৮) হেক্টর=১ হেক্টর
∴কৃষক ৭ জোড়া গরু দ্বারা ১২ দিনে জমি চাষ করতে পারেন ১✕৭✕১২ হেক্টর=৮৪ হেক্টর।
২১. লিলি একা একটি কাজ ১০ ঘণ্টায় করতে পারেন। মিলি একা ঐ কাজটি ৮ ঘণ্টায় করতে পারেন। লিলি ও মিলি একত্রে ঐ কাজটি কত ঘণ্টায় করতে পারবেন?
সমাধান
লিলি ১০ ঘণ্টায় করতে পারেন ১ অংশ
∴লিলি ১ ঘণ্টায় করতে পারেন ১/১০ অংশ
আবার,
মিলি ৮ঘণ্টায় করতে পারেন ১ অংশ
∴মিলি ১ ঘণ্টায় করতে পারেন ১/৮ অংশ
দুইজনে ১ ঘণ্টায় করতে পারেন ১/১০+১/৮ অংশ=৪/৪০+৫/৪০ অংশ = ৯/৪০ অংশ।
এখন,
তারা একত্রে ৯/৪০ অংশ করতে পারেন ১ ঘণ্টায়
∴তারা একত্রে ১ অংশ করতে পারেন ৪০/৯ ঘণ্টায়
∴নির্ণেয় সময়=৪০/৯ ঘণ্টা বা ৪পূর্ণ৪/৯ ঘণ্টা।
২২. দুইটি নল দ্বারা একটি খালি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ২০ মিনিটে ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ করা যায়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় নল দুটি একসাথে খুলে দেওয়া হলো। প্রথম নলটি কখন বন্ধ করলে চৌবাচ্চাটি ১৮ মিনিটে পানি-পূর্ণ হবে?
সমাধান
চৌবাচ্চাটি ১৮ মিনিটে পানি পূর্ন হবে যেখানে ২য় নলটি ১৮ মিনিট ধরে খোলা ছিল।
২য় নলটি দ্বরা ৩০ মিনিটে পানি পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার সম্পূর্ণ বা ১ অংশ
∴২য় নলটি দ্বরা ১ মিনিটে পানি পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ
∴২য় নলটি দ্বরা ১৮ মিনিটে পানি পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১✕১৮)/৩০ অংশ=১৮/৩০ অংশ=৩/৫ অংশ।
পূর্ণ হতে বাকী থাকে (১-৩/৫) অংশ=৫/৫-৩/৫ অংশ=২/৫ অংশ।
এখন,
২/৫ অংশ ১ম নল দারা পূর্ণ হয়।
১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ২০ মিনিটে
১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চার ২/৫ অংশ পূর্ণ হয় (২০✕২)/৫ মিনিটে=৮ মিনিটে।
∴১ম নলটি বন্ধ করার সময় ৮ মিনিট পর।
২৩. ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ কিমি। ঐ ট্রেনটি ৩০ সেকেণ্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান
১ কিমি=১০০০ মিটার
৪৮ কিমি=(১০০০✕৪৮) মি=৪৮০০০ মিটার
১ ঘণ্টা=৬০ মিনিট=৬০✕৬০ সেকেন্ড=৩৬০০ সেকেন্ড
ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে যায় ৪৮০০০ মিটার
∴ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে যায় ৪৮০০০/৩৬০০ মিটার
∴ট্রেনটি ৩০ সেকেন্ডে যায় (৪৮০০০✕৩০)/৩৬০০ মিটার=৪০০ মিটার।
∴সেতুটির দৈর্ঘ্য =অতিক্রান্ত দুরত্ব-ট্রেনের দৈর্ঘ্য=৪০০-১০০ মিটার=৩০০ মিটার।
২৪. ১২০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কিমি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?
সমাধান
১২০ মিটার দীর্ঘ ট্রেনটি ৩৩০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে হলে তাকে সেতু এবং নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে। অর্থাৎ, ১২০+৩৩০ =৪৫০ মিটার অতিক্রম করতে হবে।
এখন,
৪৫০ মিটার=(৪৫০/১০০০) কিমি=০.৪৫ কিমি
ট্রেনটি ৩০ কিমি যায় ১ ঘণ্টায়
∴ট্রেনটি ১ কিমি যায় ১/৩০ ঘণ্টায়
∴ট্রেনটি ০.৪৫ কিমি যায় (১✕০.৪৫)/৩০ ঘণ্টায়=০.০১৫ ঘটা=০.০১৫✕৬০ মিনিট=০.৯ মিনিট=০.৯✕৬০ সেকেন্ড= ৫৪ সেকেন্ড।
∴নির্ণেয় সময়=৫৪ সেকেন্ড।
২৫. তামা, দস্তা ও রুপা মিশিয়ে একটি গহনা তৈরি করা হলো। ঐ গহনায় তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রুপার অনুপাত ৩ : ৫। গহনার ওজন ১৯০ গ্রাম।
(ক) তামা, দস্তা ও রুপার অনুপাত নির্ণয় কর।
(খ) ঐ গহনায় তামা, দস্তা ও রুপার ওজন পৃথকভাবে নির্ণয় কর।
(গ) ঐ গহনায় কি পরিমাণ দস্তা মিশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ৩ হবে।
সমাধান
(ক)
তামা : দস্তা = ১ : ২ =৩ : ৬ [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা গুণ করে]…………..(১)
দস্তা : রুপা = ৩ : ৫ = ৬ : ১০ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে]…………..(২)
(১) ও (২) হতে পাই,
তামা : দস্তা : রুপা = ৩ : ৬ : ১০
(খ)
গহনার ওজন ১৯০ গ্রাম
তামা : দস্তা : রুপা = ৩ : ৬ : ১০
অনুপাতে রাশিগুলোর যোগফল (৩+৬+৮)=১৯
∴তামার ওজন=(১৯০✕৩)/১৯ গ্রাম=৩০ গ্রাম
দস্তার ওজন=(১৯০✕৬)১৯ গ্রাম=৬০ গ্রাম
রুপার ওজন=(১৯০✕১০)/১৯ গ্রাম=১০০ গ্রাম।
(গ)
উপরোক্ত তথ্য মতে, ১ : ২ =৩০ গ্রাম : ৬০ গ্রাম
অর্থাৎ,
অনুপাতে মান ২ এর জন্য দস্তার ওজন ৬০ গ্রাম
∴অনুপাতে মান ১ এর জন্য দস্তার ওজন ৬০/২ গ্রাম=৩০ গ্রাম
∴অনুপাতে মান ৩ এর জন্য দস্তার ওজন ৩০✕৩ গ্রাম=৯০ গ্রাম।
∴তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ৩ হলে দস্তা মিশাতে হবে (৯০-৬০) বা ৩০ গ্রাম।
২৬. রাসেল একজন ঘড়ি ব্যবসায়ী। তিনি একটি ঘড়ি ৬২৫ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো।
(ক) ঘড়িটি বিক্রিতে কত টাকা ক্ষতি হলো।
(খ) ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?
(গ) ঘড়িটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে।
সমাধান
(ক)
১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য=(১০০-১০)=৯০ টাকা।
এখন,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্ষতি ১০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্ষতি ১০/৯০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ৬২৫ টাকা হলে ক্ষতি (১০✕৬২৫)৯০ টাকা=৬২৫/৯ টাকা।
ক্ষতি=৬২৫/৯ টাকা বা ৬৯পূর্ন৪/৯ টাকা।
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
∴বিক্রয়মূল্য ৬২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০✕৬২৫)/৯০ টাকা=৬২৫০/৯ টাকা
∴ঘড়িটির ক্রয়মূল্য=৬২৫০/৯ টাকা বা ৬৯৪পূর্ন৪/৯ টাকা।
(গ) ঘড়িটির ক্রয়মূল্য=৬২৫০/৯ টাকা।
১০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রমূল্য (১০০+১০)=১১০ টাকা
∴ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রমূল্য ১১০/১০০ টাকা
∴ক্রয়মূল্য ৬২৫০/৯ টাকা হলে বিক্রমূল্য (১১০✕৬২৫০)/(১০০✕৯) টাকা=৬৮৭৫/৯ টাকা।
∴১০% লাভে ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য ৬৮৭৫/৯ বা ৭৬৩পূর্ণ৮/৯ টাকা।
অর্ডিনারি আইটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।
comment url